www.votruba.in

Dvojková soustava a počítače

Co to je dvojková soustava?

Historie zápisu čísel a římské číslice

S vývojem poznání a rozvojem společnosti rostla i potřeba zaznamenávat. A s ní i potřeba zapisovat čísla. Různé národy v různých dobách to řešily různě. Například Římané používali následující číselnou soustavu:

Desítková a jiné poziční soustavy

Řády - zastupují mocniny základu soustavy. U desítkové soustavy mluvíme o jednotkách, desítkách, stovkách, tisících, desetitisících, ...
Číslice - vyjadřují počty od nulového k o jedna menšímu než je základ soustavy,
desítková soustava má číslice 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9;
osmičková soustava - 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7;
šestnáctková soustava - 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A (potřebuje číslici pro 10), B, C, D, E, F;
dvojková soustava - 0, 1 (1. výhoda - má málo číslic)
V desítkové soustavě číslo 571357 čteme pětset (tisíc) sedmdesát (tisíc) jedna tisíc třista padesát sedm, což se dá napsat 5.10⁵+7.10⁴+1.10³+3.10²+5.10¹+7.10⁰
Číslo zapsané ve dvojkové soustavě 101101 by se do desítkové "přeložilo" jako 1.2⁵+0.2⁴+1.2³+1.2²+0.2¹+1.2⁰=1.32+0.16+1.8+1.4+0.2+1.1=32+8+4+1=45 (1. zdánlivá nevýhoda - potřebujeme hodně mocnin dvojky k zápisu celkem malého čísla)

Převody z dvojkové do desítkové soustavy a obráceně

Čísla ze dvojkové soustavy už převádět umíme, stačí místo 1 doplnit příslušnou mocninu dvojky, počítano od 2⁰ na posledním místě. Doporučuji mnemotechnickou pomůcku - na prstech rukou si přeříkávat mocniny dvojky: 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256, 512, 1024; a pamatovat si 2⁰=1.
Tím pádem číslo 1101011 můžeme rychleji převést takto: 64+32+8+2+1=107
Úkol č. 1 Převeďte do desítkové soustavy čísla 11111, 10101010, 1011001, 110011, 11110000.
Pro převod z desítkové soustavy potřebujeme postupovat obráceně: zadané číslo rozložit na součet mocnin čísla dva. Například 107=64+32+8+2+1.
Jenže co když to číslo jsme ještě nepoužili a nevidíme, jak ho rozložit?

1. Najdeme nejbližší nižší mocninu čísla dva a zapíšeme 1
2. Mocninu od zadaného čísla odečteme a zkontrolujeme, zda jsme další mocninu čísla dva nevynechali
3. Pokud jsme mocninu čísla dva vynechali, pak za každou z nich zapíšeme 0
4. Postup pokračujeme od bodu 1, dokud nezbývá nula nebo jedna, to zapíšeme na konec.

Zkusme to na číslu 129.

Zkusme to na číslu 78.

Úkol č. 2 Převeďte do dvojkové soustavy čísla 511, 149, 27, 151.
Existuje jiný postup? Ano, dá se postup zjednodušit tím, že číslo budeme dělit 2 a zaznamenávat si zbytky, buď 0 nebo 1. Takže si to ukažme znovu na číslu 129:

Číslo čteme odspoda nahoru: 10000001₂.
A zkusme znovu 78:

Číslo čteme odspoda nahoru: 1001110₂.

Úkol č. 3 Převeďte do dvojkové soustavy čísla 748, 164, 127, 51.

Jak se počítá ve dvojkové soustavě?

Teď se konečně dostaneme k tomu, proč je dvojková soustava tak výhodná - počítá se v ní totiž velmi jednoduše.

Sčítání ve dvojkové soustavě

0+0=0; 0+1=1; 1+1=10
Sčítání je komutativní, 0+1=1+0=1
Sčítání je asociativní, (0+1)+1=0+(1+1)=10

sčítáme tak, že sečteme číslice na posledním místě: 1+0=1, nic se nepřenáší
pokračujeme na předposledním místě: 0+0=0, nic se nepřenáší
a pokračujeme dál: 1+1=10, 0 zapíšeme a 1 se přenáší
přenesená 1 se přičte k 1+1, tedy 1+1+1=11, 1 se zapíše a 1 se přenáší
přenesená 1 se přičte k 0+0, tedy 1+0+0=1, 1 se zapíše a nic se nepřenáší
1+1=10, 0 se zapíše a 1 se přenáší
zapíšeme 1 a máme výsledek

101101+101100=1011001

Úkol č. 4 Sečtěte čísla: 1011+1010; 11001100+10101010; 11111+1.

Násobení ve dvojkové soustavě

0.0=0; 0.1=0; 1.1=1
Násobení je komutativní, 0.1=1.0=0
Násobení je asociativní, (0.1).1=0.(1.1)=0

Zatím asi ještě není vidět, jak je násobení jednoduché. A někomu nestačí uvědomit si, že vynásobit 0 znamená číslo "vynulovat", vynásobit 1 znamená číslo opsat. Vynásobit 10 tedy znamená, že se číslo vynásobí 0 (=0) a vynásobí 1 a v zápisu posune o řád. Výsledek se sečte => výsledkem je původní číslo, které má na konci navíc 0!. Ještě není jasné? Tak několik příkladů:

Úkol č. 5 Vynásobte čísla: 110011.100; 110011.1010; 110101.1100

Distributivní zákon

Spojení násobení a sčítání: a.(b+c)=a.b+a.c
0.(0+0)=0.0+0.0=0 nebo 0.(0+0)=0.0=0
0.(0+1)=0.0+0.1=0 nebo 0.(0+1)=0.1=0
0.(1+1)=0.1+0.1=0 nebo 0.(1+1)=0.10=0
1.(0+0)=1.0+1.0=0 nebo 1.(0+0)=1.0=0
1.(0+1)=1.0+1.1=1 nebo 1.(0+1)=1.1=1
1.(1+1)=1.1+1.1=10 nebo 1.(1+1)=1.10=10

Výsledky

Úkol č. 1

31; 170; 79; 51; 240

Úkol č. 2

11111111; 10010101;11011; 110011; 10010111

Úkol č. 3

1011101100; 10100100; 1111111; 110011

Úkol č. 4

10101; 101110110; 10000

Úkol č. 5

11001100; 111111110; 1001111100